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  <title>李代数初步</title>
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<p>[来自 <a href="https://zhuanlan.zhihu.com/p/144789716">给大一学生的 Lie 代数</a>]</p>

<h2>导子与 Lie 括积</h2>

<p>
  在微积分中, "微分", 或 "求导" 是典型的线性运算:
  <span class="formula">
    `(k f + l g)' = k f' + l g'`,
  </span>
  它最具特色的性质就是乘积的求导公式
  <span class="formula">
    `(f g)' = f'g + f g'`.
  </span>
  我们将 "求导" 运算推广到线性空间中来, 首先要求线性空间中有定义 "乘积".
  事实上, 许多常见的线性空间都有定义乘积. 如 `bbb F[x]` 中的多项式乘法,
  `C^oo(a,b)` 中函数的逐点乘法, `bbb F^(n xx n)` 中的矩阵乘法, 乃至
  `"End"V` (`V` 上全体线性变换) 中线性变换间的乘法. 由此给出导子的定义:
</p>

<p class="definition">
  设 `V` 是定义了乘法的线性空间, 若 `V` 上线性变换 `D` 满足
  <span class="formula">
    `D(f g) = D(f) g + f D(g)`, `quad AA f, g in V`,
  </span>
  则称 `D` 是 `V` 的<b>导子</b>. `V` 中全体导子
  `"Der"V` 按线性变换的加法和数乘构成 `"End"V` 的线性子空间.
</p>

<p class="remark">
  对于空间 `V` 上的乘法, 我们不要求它可交换, 甚至也不要求它具有结合律,
  只要求它是满足封闭性的二元运算即可.  这样的二元运算称为一个<b>代数</b>.
</p>

<p class="corollary">
  若 `A, B in "DerV`, 则 `A B - B A in "Der"V`.
</p>

<p class="proof">
  `AA f, g in V`,
  <span class="formula align">
    `(A B - B A) (f g)`<br>
    `= A B(f g) - B A(f g)`<br>
    `= A(B(f)g + f B(g)) - B(A(f)g + f A(g))`<br>
    `= A B(f)g + B(f)A(g) + A(f)B(g) + f A B(g)`<br>
    `quad - B A(f)g - A(f)B(g) - B(f)A(g) - f B A(g)`<br>
    `= (A B-B A)(f)g + f(A B-B A)(g)`.
  </span>
</p>

<p class="remark">
  这个 `A B - B A` 如此好用, 以至于有如下定义:
</p>

<p class="definition">
  设 `V` 是定义了代数的线性空间, `A, B in V`. 称
  <span class="formula">
    `[A, B] := A B - B A`
  </span>
  为 <b>Lie 括积</b>, 简称括积.
</p>

<ol class="property">
  Lie 括积满足:
  <li>反对称性 `[A, B] = -[B, A]`;</li>
  <li>双线性性 `[k A + l B, C] = k[A, C] + l[B, C]`;</li>
  <li>二重公式 `[A, B C] = [A, B]C + B[A, C]`;</li>
  <li>Jacobi 恒等式 `sum_"cyc"[[A, B], C] = 0`.</li>
</ol>

<p class="proof">
  4 的证明:
  <span class="formula">
    `sum_"cyc" (A B-B A)C - C(A B-B A)`
    `= sum_"cyc" (A B C - C A B) + sum_"cyc" (C B A - B A C)`
    `= 0 + 0`.
  </span>
</p>

<ol class="remark">
  `RR^3` 中的向量外积也满足类似的性质:
  <li>`bm x xx bm y = -bm y xx bm x`;</li>
  <li>`(k bm x + l bm y) xx bm z = k bm x xx bm z + l bm y xx bm z`;</li>
  <li>`bm x xx (bm y xx bm z) = (bm x * bm z) bm y - (bm x * bm y) bm z`.</li>
  <li>`sum_"cyc" (bm x xx bm y) xx bm z = bb 0`.</li>
</ol>

<ol class="example">
  在 `bbb F^(n xx n)` 中:
  <li>若 `bm A, bm B` 是反对称矩阵, 则 `[bm A, bm B]` 是反对称矩阵;</li>
  <li>若 `bm A, bm B` 是对称矩阵, 则 `[bm A, bm B]` 是反对称矩阵;</li>
  <li>若 `bm A, bm B` 一个对称, 一个反对称, 则 `[bm A, bm B]` 对称.</li>
  总之, 用 1 表示反对称, -1 表示对称, 欲知括积的对称性, 只需将两数相乘.
</ol>

<p>下面的定理将括积和导子再次联系到一起.</p>

<p class="theorem">
  在 `V` 上定义 `"ad"_A(B) = [A, B]`, 则 `"ad"_A in "Der"V`;
  反之, 对任意 `D in "Der"V`, 存在 `A in V` 使得 `D = "ad"_A`.
</p>

<ol class="proof">
  <li>由括积的性质 3,
    <span class="formula">
      `"ad"_A(B C) = "ad"_A(B) C + B "ad"_A(C)`,
    </span>
    即 `"ad"_A` 是导子.
  </li>
  <li>??</li>
</ol>

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</html>
